Os diversos usos da fatoração de
números naturais
Explore a decomposição em primos e
os conceitos de Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC)
Objetivos
-
Usar o Teorema Fundamental da Aritmética e a decomposição em fatores primos
além da determinação do mínimo múltiplo comum (MMC) e do máximo divisor comum
(MDC) de números inteiro
-
Aplicar o resultado do MMC e do MDC
-
Explorar critérios de divisibilidade
-
Usar a decomposição em fatores primos no cálculo de raízes quadradas
-
Usar a unicidade da decomposição em fatores primos para justificar que alguns
números são irracionais
Conteúdo
Decomposição
de números em fatores primos.
Ano 8º ano
Tempo estimado Quatro aulas
Leia mais
Desenvolvimento
1ª etapa
Retome
o processo de decomposição em fatores primos. Enfatize que a fatoração consiste
em escrever como um produto. Faça algumas decomposições de números naturais em
fatores primos. Se necessário, retome o significado de número primo e também o
fato de que uma potência é apenas uma representação sintética de um produto em
que os fatores são todos iguais. Escolha alguns números e proponha que os
alunos os fatorem com números primos. Peça que troquem entre eles os resultados
das decomposições desafiando-os a encontrar duas decomposições distintas para
um mesmo número natural. O objetivo é lavá-los a concluir que isso não existe.
Explique que essa unicidade da decomposição em fatores primos é um fato muito
importante, e é justamente o que afirma o Teorema Fundamental da Aritmética.
Enuncie o Teorema Fundamental da Aritmética ("Todos os números inteiros
positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos,
sendo essa decomposição única.").
2ª etapa
Retome
os conceitos de divisores de um número natural. Mostre, por meio de exemplos,
que dizer que um número primo é divisor de um número natural é equivalente a
afirmar que esse primo aparece na decomposição em fatores primos desse número
(fato1). Use a decomposição em fatores primos para mostrar essa equivalência.
Exemplos:
a) 7 divide 441, pois
e
há um fator 7 no numerador que pode ser cancelado com o número 7 do
denominador.b) 7 não divide 324, pois
e
então a fração 
já
é irredutível e não pode ser reduzida a uma fração equivalente de denominador
1. Assim 
não
tem como resultado um número inteiro.
Usando
a ideia da decomposição de números primos - e o fato de ela só se realizar de
forma única - peça que os estudantes investiguem o que deve ocorrer na
decomposição de dois números compostos, a e b, para que a seja divisível por b.
Para isso proponha que verifiquem, por exemplo, se 384 é divisível por 18.
Assim, podem concluir que:
E pelo fato anterior (fato1) apresentado, podem concluir que a divisão não é exata.
Peça
que a turma elabore um critério, baseado na decomposição em fatores primos,
para decidir se um número pode ser dividido por outro. Por fim, faça a
observação de que a decomposição em fatores primos fornece um método
alternativo para a própria operação de divisão, e peça que eles efetuem
divisões usando esse método.
3ª etapa
Retome
o uso da decomposição em fatores primos para o cálculo do MMC. Apresente o
exemplo:
77,
132
|
2
|
77,
66
|
2
|
77,
33
|
3
|
77,
11
|
7
|
11,
11
|
11
|
1,1
|
MMC(77;132)=2².3
.7.11=924
Solicite que os estudantes calculem o MMC de (35;45) e de (132;165). Depois, apresente a decomposição em fatores primos de dois números grandes: A=7 .13 .97⁴ e B=3 .59 .83 . 127³ e peça que eles escrevam a decomposição em fatores primos do MMC de A e B. É esperado que identifiquem que o MMC é a multiplicação A X B.
Solicite que os estudantes calculem o MMC de (35;45) e de (132;165). Depois, apresente a decomposição em fatores primos de dois números grandes: A=7 .13 .97⁴ e B=3 .59 .83 . 127³ e peça que eles escrevam a decomposição em fatores primos do MMC de A e B. É esperado que identifiquem que o MMC é a multiplicação A X B.
4ª etapa
Retome
o conceito de MDC e questione a sala sobre a diferença entre ele e o MMC. Em
seguida, com o objetivo de chamar a atenção dos jovens para a importância de
entender o que está por trás desses dois procedimentos, desafie-os a resolver
este problema: Num Grande Prêmio de Fórmula 1, o piloto brasileiro completava
uma volta na pista a cada 84 segundos. Mas o piloto alemão, com um carro mais
rápido, dava uma volta a cada 66 segundos. Considerando que largaram juntos,
quanto tempo depois eles passaram juntos novamente pelo ponto de partida? Nesse
momento, quantas voltas cada um completou?
5ª etapa
Retome
com a garotada o conceito de raiz quadrada. Use a ideia de que extrair raiz
quadrada é a operação inversa de elevar um número ao quadrado. Por meio de
exemplos, aborde também que a raiz quadrada de um produto é o produto das
raízes quadradas, ou seja, 
,
sendo a e b números reais positivos. Abordados esses fatos, proponha que os
alunos calculem 
,
e que para isso escrevam o radicando como um produto de primos usando a
decomposição em fatores primos. Assim,
.
Auxilie a moçada a usar os fatos abordados anteriormente para concluir que
,
sendo a e b números reais positivos. Abordados esses fatos, proponha que os
alunos calculem ,
e que para isso escrevam o radicando como um produto de primos usando a
decomposição em fatores primos. Assim, .
Auxilie a moçada a usar os fatos abordados anteriormente para concluir que .png)
Em seguida, usando a decomposição em fatores primos, proponha que os estudantes
calculem a raiz quadrada de números naturais cujos expoentes dos números primos
na decomposição (em fatores primos) sejam números pares diferentes de 2. Peça,
por exemplo, que calculem 
.
Para isso lembre-os de que uma potência pode ser decomposta em um produto de
potência de mesma base. Assim, 2⁴=2².2²
e 3⁴=3².3². Então,
.
Para isso lembre-os de que uma potência pode ser decomposta em um produto de
potência de mesma base. Assim, 2⁴=2².2²
e 3⁴=3².3². Então,
Em seguida, oriente que investiguem a relação entre os expoentes da
decomposição em fatores primos de um número natural e o fato de esse número ter
uma raiz quadrada que seja também um número natural. Peça que enunciem uma
condição para que um número natural tenha raiz quadrada exata, isto é, também
natural.
Apresente
vários números naturais para que os alunos decidam quais deles têm raiz
quadrada também natural (ou exata) e, para esses, peça que extraiam os valores
das raízes quadradas.
6ª etapa
Nos
anos finais do Ensino Fundamental, geralmente se faz a construção do conjunto
dos números Reais, apresentando aos alunos um conjunto até então desconhecido:
o conjunto dos números Irracionais. Nesse contexto, o Teorema Fundamental da
Aritmética pode ser utilizado para demonstrar que alguns números são
irracionais, bem como para estabelecer um critério, baseado na decomposição em
fatores primos, para decidir quais raízes quadradas são racionais e quais são
irracionais.
Para esclarecer que existem números que não podem ser escritos como a razão entre dois números inteiros, analise com os alunos o número
.
Explique que vocês deverão investigar quais as consequências do fato de 
ser
um número racional. Assim, comece supondo que 
,
com a e b inteiros. Argumente que √7=a/b implica que 
,
ou ainda que 
.
Assim, se fosse
racional, teríamos .
Relacione esta última igualdade com o Teorema Fundamental da Aritmética: se 7
aparecer na decomposição em fatores primos de a, então ele aparecerá com
expoente par na decomposição em fatores primos de a² (o segundo
membro da igualdade). Por outro lado, o número 7 sempre aparecerá com expoente
ímpar no número que fica no primeiro membro da igualdade (mostre que isso
acontece se 7 aparecer ou não na decomposição em fatores primos de b). Dessa
forma, teríamos um mesmo número inteiro com duas decomposições distintas em
fatores primos, o que é incompatível com o Teorema Fundamental da Aritmética.
Explique que o fato de o número ser
racional implicaria a negação de um fato reconhecidamente verdadeiro - que a
decomposição em fatores primos de um número é única - e, por isso, é
irracional.
Para esclarecer que existem números que não podem ser escritos como a razão entre dois números inteiros, analise com os alunos o número
.
Explique que vocês deverão investigar quais as consequências do fato de ser
um número racional. Assim, comece supondo que ,
com a e b inteiros. Argumente que √7=a/b implica que ,
ou ainda que .
Assim, se fosse
racional, teríamos .
Relacione esta última igualdade com o Teorema Fundamental da Aritmética: se 7
aparecer na decomposição em fatores primos de a, então ele aparecerá com
expoente par na decomposição em fatores primos de a² (o segundo
membro da igualdade). Por outro lado, o número 7 sempre aparecerá com expoente
ímpar no número que fica no primeiro membro da igualdade (mostre que isso
acontece se 7 aparecer ou não na decomposição em fatores primos de b). Dessa
forma, teríamos um mesmo número inteiro com duas decomposições distintas em
fatores primos, o que é incompatível com o Teorema Fundamental da Aritmética.
Explique que o fato de o número ser
racional implicaria a negação de um fato reconhecidamente verdadeiro - que a
decomposição em fatores primos de um número é única - e, por isso, é
irracional.
Em
seguida, proponha que os alunos demonstrem que √3 e √11 também são
irracionais. Peça que generalizem esses resultados mostrando que √p é sempre irracional se p
for primo.
Na
sequência
das atividades, peça
que avaliem se alguns números
compostos como 
e 
são
racionais ou irracionais. Supondo inicialmente que são racionais, os alunos
devem novamente concluir que haveria uma mesmo número com duas decomposições
distintas em fatores primos, e que, portanto, esses números não podem ser
racionais.
e são
racionais ou irracionais. Supondo inicialmente que são racionais, os alunos
devem novamente concluir que haveria uma mesmo número com duas decomposições
distintas em fatores primos, e que, portanto, esses números não podem ser
racionais.
Por
fim, peça que os alunos verifiquem se números como 
são
racionais ou não. Nesse caso, usando a decomposição em fatores primos, eles
devem ser auxiliados a concluir que 
.
Depois, supondo que 
pode
ser escrito como a razão 
com
a e b inteiros, a turma deve caminhar no sentido de concluir que se 
, então 
.
Mas, 
(com
a e b inteiros) é um número racional, o que contraria o fato já demonstrado por
eles de que a raiz quadrada de um número primo é sempre irracional.
são
racionais ou não. Nesse caso, usando a decomposição em fatores primos, eles
devem ser auxiliados a concluir que .
Depois, supondo que pode
ser escrito como a razão com
a e b inteiros, a turma deve caminhar no sentido de concluir que se , então .
Mas, (com
a e b inteiros) é um número racional, o que contraria o fato já demonstrado por
eles de que a raiz quadrada de um número primo é sempre irracional.
Após
essas investigações, peça que os jovens, baseados na decomposição em fatores
primos de um número dado, elaborem um critério para decidir se a raiz quadrada
desse número é ou não irracional. Auxilie todos a concluir que se houver primos
com expoente ímpar na decomposição em fatores primos de um número, esse número
terá raiz quadrada irracional.
Apresente
dois desafios para turma:
- Verificar, em um conjunto de números dado por você, quais são divisíveis por outro número também fornecido previamente. Para os que forem divisíveis, apresentar o resultado da divisão
- Demonstrar que o produto de raízes quadradas de números primos é sempre irracional e que se a raiz quadrada de um número natural não é um número natural, então ela é irracional
Marcelo Kruppa Villani
Professor da Escola Projeto Vida e do Colégio Objetivo, em São Paulo
Professor da Escola Projeto Vida e do Colégio Objetivo, em São Paulo
Nenhum comentário:
Postar um comentário